Unterrichtsplanung:Den Flächeninhalt von Dreiecken im Koordinatensystem mit Vektoren berechnen
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[Bearbeiten] Thema der Stunde und Einordnung im Lehrplan:
Das Thema ist unter „Berechnung mit Hilfe von Vektoren“ einzuordnen. Laut dem Lehrplan der Realschule für Bayern ist das Grundwissen dafür in der 9. Jahrgangsstufe erworben werden sollte
Es wird im Abschnitt M 9.6 Flächeninhalt ebener Vielecke (ca. 11 Std.) behandelt, der wie folgt beschrieben ist:
Die Schüler vergleichen die Flächeninhalte von Figuren durch Zerlegung in paarweise kongruente Teilfiguren und entdecken, dass zerlegungsgleiche Figuren flächengleich sind. Sie erarbeiten grundlegende Flächeninhaltsformeln, mit denen sie die Flächeninhalte beliebiger Vielecke bestimmen. Sie lernen, die Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken in der Koordinatenebene zu berechnen. Sie erweitern damit ihre Fähigkeit, geometrische Probleme algebraisch zu bearbeiten und funktionale Abhängigkeiten zu untersuchen.
- Formeln für den Flächeninhalt von Parallelogramm, Dreieck, Trapez und Drachenviereck
Die Unterrichtsstunde wird im Anschluss an eine Einführungs- und eine darauf folgende Übungsstunde zum Determinantenverfahren eingeordnet, das auch für dieses Thema vorausgesetzt wird. In der Folgestunde werden die Rechenverfahren zur Flächenberechnung durch eine Übungsstunde vertieft bevor im weiteren Verlauf die Flächenberechnung für verschiedene Vielecke behandelt wird.
Anmerkungen zur Klassensituation.
In der Klasse 9A, für die diese Unterrichtsstunde entworfen wird, sind über 5 von 32 Schülern die diese Jahrgangsstufe wiederholen. Es sind nur 3 Schülerinnen in der Klasse was zu einem starken Ungleichgewicht der Geschlechterverteilung führt. die Klasse ist, soweit man aus den Beobachtungen der vorangegangenen Stunden insgesamt recht unruhig. Die Wiederholungsschüler sind bzw. verhalten sich oft gelangweilt, obwohl der Anschein entsteht, dass sie die Themen nicht hinreichend durchdrungen haben.
[Bearbeiten] Sachanalyse:
Grundsätzlich soll der Flächeninhalt von beliebigen Dreiecken im Koordinatensystem berechnet werden. Um die Berechnung zu vereinfachen wird das Dreieck so verschoben, dass der Punkt mit dem geringsten Abstand vom Nullpunkt in diesen übergeht. Dadurch ergibt sich keine Veränderung des Flächeninhalts, da die Verschiebung flächentreu ist. Da das Dreieck beliebig, also normalerweise nicht rechtwinklig ist, erscheint die Berechnung einer Höhe sehr schwierig. Betrachtet man das Viereck, das durch den Nullpunkt und die Parallelen zu den Achsen durch die beiden äußeren Dreieckspunkte entsteht, kann dieses in das zu berechnende Dreieck und drei rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden.
Bei der Formel ist zu Beachten, dass der Punkt B entgegen dem Uhrzeigersinn von A liegen muss.
[Bearbeiten] Didaktische Analyse:
Als Voraussetzung sollten die Schüler und Schülerinnen das Rechnen mit Vektoren und die Flächenberechnung von Rechtecken und rechtwinkligen Dreiecken beherrschen. Des Weiteren sollte von den Schülern die Formel für das Determinantenverfahren beherrscht werden.
Den Schülern soll zusätzlich zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks mit Hilfe der Höhenformel eine zweite Möglichkeit gegeben werden diese zu berechnen. Viele weitere Probleme in der Geometrie werden durch die Darstellung im Koordinatensystem als Vektoren erst berechenbar. Dies solle ein erster Schritt in diese Richtung sein und den Schülern auf anschauliche Weise den Übergang von der reinen Geometrie in die Vektordarstellung geben. Das größte Problem wird sein, dass Viereck zu erkennen, dass man über dem Dreieck aufspannen kann. Dazu solle als Hilfe die Eckpunkte bereits mit Buchstaben bezeichnet und die Kanten des Rechtecks als gestichelte Linie eingezeichnet werden. Weitere Probleme könnte es vor allem in der Berechnung der Strecken BQ und AQ geben die über die Differenz von Einzelkoordinaten berechnet werden muss.
[Bearbeiten] Lernziele:
- Flächeninhalte im von Dreiecken abschätzen können
- Flächen durch Zerlegung berechnen können
- Formeln zur Flächenberechnung von Dreiecken mit Vektoren herleiten können
- Formeln zur Flächenberechnung von Dreiecken im Koordinatensystem anwenden können
[Bearbeiten] Methodische Analyse
Zuerst muss zu Planung der Stunde festgehalten werden, dass nur 35 Minuten zur Verfügung stehen, da die Lehrerin zu Beginn der Stunde noch die Hausaufgaben verbessert.
Zum Einstieg soll das Zeichnen eines Dreiecks im Koordinatensystem mit schraffierter Fläche als stummer Impuls die Schüler dazu anregen das Thema der Stunde selbst zu artikulieren. Die Schüler sollen eine ungefähre Vorstellung des Flächeninhalts bekommen indem sie durch verschiedene Verfahren die Fläche abschätzen.
Da die Klasse eher unruhig ist sobald der Lehrer im Frontalunterricht vor der Tafel steht, aber bei Übungsaufgaben konzentriert zu Werke geht habe ich mich entschieden das Thema von den Schülern in Partnerarbeit selbst zu erforschen und die Ergebnisse in einem Unterrichtsgespräch zu sammeln und durch Schüler an der Tafel festzuhalten.
Die Schüler und Schülerinnen sollen die Formel dann in Einzelarbeit an Übungsaufgaben anwenden um das Erlernte zu sichern.
Anschließend wird noch die Hausaufgabe gestellt und besprochen.
[Bearbeiten] Verlaufsplanung im Artikulationsschema
| Zeit | Sozialform | Lehrer - Schüler Kommunikation / Handlungsverlauf | Medien | Artikulationsphase |
|---|---|---|---|---|
| 5 min | Unterrichts-Gespräch | L zeichnet Dreieck mit Vektorangaben und schraffierter Fläche
S: „Das Thema der Stunde ist vielleicht Flächen von Dreiecken“ L schreibt da Thema der Stunde an und lässt Fläche schätzen. Vorschläge werden an gesonderter Tafel festgehalten | Tafel | Hinführung |
| 15 min | Partnerarbeit am Platz, Unterrichts-Gespräch | S sollen 5 min Vorschläge zur Flächenberechnung erarbeiten
L: Fasst Vorschläge zusammen und erarbeitet Flächeninhalt anhand des Rechtecks. Rückgriff auf die Determinante S erzeugen Hefteintrag und fassen den neuen Stoff zusammen | Tafel | Erarbeitung |
| 10 min | Einzelarbeit, Unterrichts-Gespräch | L stellt Buch S.49 A1a und b an der Tafel dar.
S berechnen Flächeninhalt | Buch, Tafel | Sicherung durch Übung |
| 5 min | Unterrichtsgespräch | L weißt auf Problem der Drehrichtung im Beispiel von Buch s. 49 #2 hin.
L stellt Hausaufgabe Buch S. 49/1 f,g (Zeichnung, 2 Lsg. ) | Buch | Transfer |
[Bearbeiten] Kritische Würdigung
Der reale Unterrichtsverlauf ist stark von der Planung abgewichen. Zuerst gab es bereits Schwierigkeiten bei der Verbesserung der Hausaufgabe, so dass nur noch 30 Minuten für den eigentlichen Unterricht zur Verfügung standen.
Der stumme Impuls wurde gut aufgenommen und es haben sich viele Schüler und Schülerinnen ohne Aufforderung gemeldet, die das Thema der Stunde auch präzise wiedergaben.
Die Klasse war während der Partnerarbeit erstaunlich leise, obwohl Sie sich in Zimmerlautstärke unterhalten durften. Ich habe beim Durchgehen durch den Klassenraum Hilfestellung bei kleineren Problemen gegeben, aber der Großteil der Klasse hat sich die Formel ohne Hilfe erarbeitet. Allerdings brauchten Sie dazu länger als geplant.
Das Unterrichtsgespräch zur Zusammenfassung verlief gut und die Schüler und Schülerinnen konnten ihre Beschreibungen gut artikulieren. Die Erstellung des Tafelbildes durch die Schüler dauerte allerdings viel zu lange, so dass keine Zeit mehr blieb die Übungsaufgaben durch zurechnen. Diese wurden nur kurz mündlich besprochen und die zweite Aufgabe als Hausaufgabe gestellt.
Insgesamt war ich mit dem Verhalten der Klasse zufrieden und mein Auftreten vor der Klasse wurde gut aufgenommen. Die Zeitplanung hat weniger gut funktioniert, was auf die fehlende Erfahrung und die mangelnde Kenntnis der Arbeitsfähigkeiten der Klasse zurückzuführen ist.
Das Tafelbild war gut lesbar, aber ein eigenes Merkkästchen für die Formel habe ich vergessen anzuschreiben.
[Bearbeiten] Quellenangaben:
Mathematik für Realschulen. Schülerband 9. Wahlpflichtfächergruppe 1. Bayern; Mitarbeit: Habler, Erich; Kappl, Simon; Kiermair, Xaver; Verlag: Diesterweg ;2004
